B-7-0201

モンテカルロ法って何？

＊モンテカルロ法は数値計算の重要なテクニック
　の１つである。

＊計算機に乱数を発生させて確率的に起きる現象
　（確率過程という）をシミュレートするときや
　サンプル法による積分を行なうときなどに使われ
　る。すなわち莫大な数の和や積分をすべて行なえ
　ないときに、うまく抽出したサンプルの和で全体
　の和や積分を予想する手法である。

物性理論の分野では：

熱的ゆらぎや量子ゆらぎなどの影響を確率問題におきかえて計算する時に使われる。特に統計力学的性質は分配関数と呼ばれる量を計算することによって求めることができる。分配関数は、多くの状態の和としてあらわされている。しかし、この和を正直にたしあわせることは数値計算でもむつかしいことが多い。そこですべての和をとることをあきらめて、和の一部を統計的に抽出し、サンプリングによる和を行なってすべての和をとった時の結果を推測する。この推測は、サンプル数が多くなればなるほど、また重要な部分の和をうまく引き出しているほど、精度がよくなり、統計誤差を減らして、正確な結果をうまく言い当てることができる。

モンテカルロ法を用いた数値計算によって、理論模型のもつ数値計算を行なうときには、たくさんのサンプルを計算機で発生させ、その平均をとる操作を行なうため、統計誤差を含む。この統計誤差の範囲内で、理論模型のもつ近似によらない性質を明らかにすることを狙っている

例えばどんな物理的性質を計算できるか？
　熱力学的性質や統計力学的性質を計算できる。
　例えば有限サイズの数の原子、分子、電子などから成る理論模型について、エネルギー、
　帯磁率、比熱、スピンや電荷の相関関数などを計算し、系のサイズを大きくしていって、
　マクロな数の原子や電子を含む物質の性質を調べることができる。

量子力学的な効果の無視できる系では古典統計力学の原理に従って、モンテカルロ計算が広範な研究の手段となっている。古典統計力学に従う系の研究では、系の運動方程式をそのまま追いかける分子動力学法と、系の従う確率分布に従って統計サンプリングを行なうモンテカルロ法が良く知られた強力な数値的手法である。

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